ODE基础

一、基本概念

在学习常微分方程之前，我们先了解一些基本的概念；我们在中学的时候都学过解方程（如： $x^2+5=0$ ），不过那都是函数方程（ $f(x)=0$ ，即含有未知数x的方程）。

因此，我们就引出了一个新的概念，什么是微分方程？

（1）微分方程：未知函数及其导数或微分的关系式，如： $y'+5y=3x (y=f(x))$ ）。

由此，我们便可知道函数方程是关于未知数x的，而微分方程是关于x的导数或微分的；微分方程的英文名叫differential equation，简称D.E.。

我们这一章复习的是常微分方程，什么是常微分方程呢，这个“常”又代表什么呢？

（2）常微分方程：一个未知函数及其导数或微分的关系式，如： $f'(x)-7f(x)=0$ 。

这个“常”（Ordinary）表示平常，也就是在一般情况（理想情况）下的微分方程，即只有一个未知函数；正是因为如此，所以我们在尚未进行特殊说明的情况下，默认D.E.表示常微分方程。

既然我们已经知道了什么是常微分方程了，那么它的解又是什么呢？（有问题，就应该有答案啊）

（3）解：能使D.E的关系式恒成立的函数，形如 $y=f(x)$ 。

先回顾一下我们熟悉的函数方程，它的解是什么？是满足函数关系式的未知数，也就是 $x=C$ （C一般为常数）；不难推出D.E.的解也是要满足关系式，是长成 $y=f(x)$ 这个样子。

（4）通解：带有常数C的解，如： $y=C_1x^2+C_2e^x$ （有两项）。

（5）通积分：隐函数形式的通解，如： $f(y) = C_1x^2 + C_2e^x$ 。

注：某D.E.通解的项和该D.E.的阶相同，即二阶D.E.的通解就有两项，下文会介绍什么是阶。

① $(y')^2 + p(x)y = 0$ 和② $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 有什么区别呢？

（5）阶：D.E.中的最高阶导数或微分称为这个D.E的阶，如：①是1阶，②是2阶。

（6）齐次：D.E.中不含未知函数和常量，如：①是齐次，②是非齐。

（7）线性：D.E中的导数或微分只有一次，如：①是二次，②是一次。

注：“线性”这个概念在代数上一般都是指一次，如： $y=3x$ 就是线性的，而 $y=x^2$ 是非线性的；从几何上看也很好理解， $y=3x$ 是一条直线，而 $y=x^2$ 是一条曲线。

（8）定解条件：其实就是一些已知信息，能用来确定解中的常数C。

（9）初始条件：定解条件中最常见的一种，给出初始条件的问题称为初值问题，也叫柯西问题。

（10）特解：常数C确定后的通解，称为特解，比如由定解条件确定常数C。

最后，我们来看一下D.E.的两种表现形式。

（11）显函数形式： $y^{(n)} = f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})$

（12）隐函数形式： $f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0$

二、求解D.E.

好，我们现在已经了解了有关常微分方程的基本概念，那么我们应该如何去求一个常微分方程的解呢？（一般是求通解，在特定条件下会是求特解）

为了能快速的求解D.E.，通常把D.E分为以下几个类型。

（1）可分离变量型：形如 $\frac{dy}{dx} = p(y)q(x)$

首先，分离变量： $\frac{1}{p(y)}dy = q(x)dx$

然后，两边积分： $\int\frac{1}{p(y)}dy = \int q(x)dx +C$ （注意：自变量一端加常数C，而不定积分的结果就不要加C了）

最后，计算结果。

（2）齐次型：形如 $\frac{dy}{dx} = f(\frac yx)$

首先，换元法：设 $u=\frac yx$ ，则 $y=xu, \frac{dy}{dx} = (xu)' = u+x\frac{du}{dx}$

然后，原式就变成： $u+x\frac{du}{dx} = f(u)$

现在就和分离变量型一样了，如法炮制。

就先，分离变量： $\frac{1}{f(u)-u}du = \frac 1x dx$

接着，两边积分： $\int\frac{1}{f(u)-u}du = \int\frac 1x dx + C$

最后，计算结果。

（3）一阶齐次线性型：形如 $y' + p(x)y = 0$

直接套用公式： $y=Ce^{-\int p(x)dx}$

下面我们来推导这个公式：

$y' + p(x)y = 0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-p(x)y\Rightarrow \frac 1ydy = -p(x)dx\Rightarrow \int\frac 1ydy = \int -p(x)dx+C_1$

$\Rightarrow ln|y| = \int -p(x)dx+C_1\Rightarrow |y| = e^{C_1}e^\int -p(x)dx\Rightarrow y = \pm e^{C_1}e^\int -p(x)dx$

$\Rightarrow y = Ce^\int -p(x)dx$

（4）一阶非齐线性型：形如 $y' + p(x)y = q(x)$

直接套用公式： $y=(\int q(x)e^{\int p(x)dx}+C)e^{-\int p(x)dx}$

这里就不推导了，麻烦。

上面我们求解的都是一阶D.E.，下面我们来看看高阶D.E如何求解（主要以二阶为例）。

（5）可降阶型（双缺）：形如 $y^{(n)} = f(x)$

由基本概念中“某D.E.通解的项和该D.E.的阶相同”可知， $y^{(n)} = f(x)$ 的解为：

$y' = f(x)\Rightarrow y = \int f(x)dx +C$

$y'' = f(x)\Rightarrow y'= \int f(x)dx + C_1\Rightarrow y = \iint f(x)dx^2 +C_1x + C_2\$

$y''' = f(x)\Rightarrow y''= \int f(x)dx + C_1\Rightarrow y' = \iint f(x)dx^2 +C_1x + C_2\Rightarrow y = \iiint f(x)dx^3 +C_1x^2 + C_2x + C_3$

以此类推：

$y^{(n)} = f(x)\Rightarrow y = \iiint...\int f(x)dx^n +C_1x^{n-1} + C_2x^{n-2} + ... +C_{n-3}x^2 + C_{n-2}x + C_{n-1}$

（6）二阶可降阶型（缺y）：形如 $y'' = f(x,y')$

首先，换元法：设 $p = y'$ ，则 $y'' = p' = \frac{dp}{dx}$

然后，原式就变成： $\frac{dp}{dx} = f(x,p)$

这就化成了一阶线性D.E，最后直接套公式计算结果就好了。

（7）二阶可降阶型（缺x）：形如 $y'' = f(y,y')$

首先，换元法：设 $p = y'$ ，则 $y'' = p' = \frac{dp}{dx}$

然后，原式就变成： $\frac{dp}{dx} = f(y,p)$

但是这样就出现了三个字母（p，y，x），我们不希望有三个字母，因为只有两个字母的话，我们就可以如法炮制，变成一阶线性D.E.，然后直接套公式计算了。

所以，我们把 $\frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$

于是，原式就变成： $p\frac{dp}{dy} = f(y,p)$

这样就只有两个字母了，哈哈可以套公式直接算了。

（8）二阶常系数齐次线性型：形如 $y'' + py' +qy = 0$

首先，写出特征方程： $\lambda ^2 + p\lambda + q = 0$

然后，看有几个根（用求根公式）： $\Delta = b^2 - 4ac = p^2 - 4q$

当Δ>0，即 $\lambda _1 \ne \lambda _2$ ,则： $y = C_1e^{\lambda _1 x} + C_2e^{\lambda _2 x}$

当Δ=0，即 $\lambda _1 = \lambda _2$ ,则： $y = (C_1+C_2x)e^{\lambda _1 x}$

当Δ<0，存在共轭复根 $\alpha \pm i\beta$ ，则： $y = e^{\alpha x}(C_1 cos \beta x + C_2 sin \beta x)$

（在中学的时候啊，对于Δ<0的情况，我们就直接说该方程无解，但如果引入虚数的概念，则有一对共轭复根为解）

拓展：这个特征方程是怎么来的呢？（特征方程的来源）

由方程的结构可知， $y'',y',y$ 必须是同类函数，才能满足 $y'' + py' +qy = 0$

不难猜出， $y$ 是指数函数，即 $y = e^{rx}, y' = re^{rx}, y'' = r^2e^{rx}$

于是，原式等于 $r^2e^{rx}+ pre^{rx} +qe^{rx} = 0\Rightarrow e^{rx}(r^2+ pr +q) = 0$

$∵e^{rx}\ne0 ∴ r^2+ pr +q = 0$

故可设，特征方程 $\lambda^2+ p\lambda +q = 0$ （其实就是把 $r$ 写成 $\lambda$ ，因为习惯上用 $\lambda$ 来描述特征方程）。

那么特征方程后面所对应的用来求出D..通解的公式又是怎么来的呢？

由于，这个特征方程 $\lambda^2+ p\lambda +q = 0$ 是一个一元二次方程（ $\lambda$ 为未知数）。

根据求根公式 $\Delta = b^2-4ac$ 可知，这个特征方程的解有三种情况。

我就以第一种情况为例（因为后两种情况推导起来很麻烦）：

当 $\Delta >0$ ，有两个不同根 $\lambda_1\ne \lambda_2$ ，将其分别代入 $y = e^{rx}$

得： $y_1 = e^{\lambda_1x }$ 和 $y_2 = e^{\lambda_2x }$ （两个特解）

由基本概念中“某D.E.通解的项和该D.E.的阶相同”可知， $y'' + py' +qy = 0$ 的通解应有两项，不妨设为 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 。

再根据下文“解的性质中线性无关那块的概念”可知，如果 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 要是 $y'' + py' +qy = 0$ 的解，则必须满足 $Cy_1 \ne y_2$ （即二者线性无关）。

$∵\lambda_1 \ne \lambda_2 ∴\frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{\lambda_1x }}{e^{\lambda_2x }} \ne C$ （C为常数）则二者线性无关。

故， $C_1 y_1 + C_2 y_2 = C_1e^{\lambda_2x } + C_1e^{\lambda_2x }$

第二种情况：当 $\Delta =0$ ，有一个二重根 $\lambda_1= \lambda_2$ ，可以通过设一个线性无关的另一个特解来推导。

第三种情况：当 $\Delta <0$ ，存在共轭复根 $\alpha \pm i\beta$ ，要注意复数的运算规则。

（9）二阶常系数非齐线性型①：形如 $y'' + py' +qy = P_n(x)e^{kx}$

（ $P_n$ 是多项式的意思，洋屁名polynomial）

它的解其实就是：二阶常系数齐次线性型的通解 + 一个自己的特解。

例题： $y'' - 3y' + 2y = (2x+1)e^{x}$

第一步，求齐次的通解：

$\lambda ^2 -3\lambda +2 = 0 \Rightarrow\Delta = 1 > 0, \lambda _1 = 1, \lambda _2 = 2\Rightarrow y = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$

第二步，找一个非齐的特解（按通解的模样，假设一个特解）：

$y_0(x) = (ax + b)e^{(x)}$

$∵k = 1 = \lambda _1 \ne \lambda _2 ∴$ 特解乘以x，是 $y_0 = x(ax + b)e^{x} = (ax^2 + bx)e^{x}$

如果 $k \ne \lambda _1 \ne \lambda _2$ 则特解是 $(ax + b)e^{x}$

如果 $k = \lambda _1 = \lambda _2$ 则特解乘以 $x^2$

由于 $y_0 = (ax^2 + bx)e^{x}$ 则：

$y'_0 = (ax^2 + bx)e^{x} + (2ax+ b)e^{x} = [ax^2 + (2a+b)x + b]e^{x}$

$y''_0 = 2ae^x + (ax^2 + bx)e^{x} + 2(2ax+ b)e^{x} = [ax^2 + (4a+b)x + 2a+b]e^x$

代入原式，得 $[3ax^2 + (6a+3b)x + 2a+2b]e^x = (2x-1)e^x$

求出： $a = -1, b=-1$

则原式的解就是： $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} + (-x^2 + -x)e^{x}$

拓展：这里代入原式，是有一定技巧的（ $Q$ 为特解里的 $P_n(x)$ ）

如果 $k = \lambda _1 = \lambda _2$ 则公式为 $Q'' = P_n(x)$

如果 $k = \lambda _1 \ne \lambda _2$ 则公式为 $Q'' + (2k-p)Q' = P_n(x)$

如果 $k \ne \lambda _1 \ne \lambda _2$ ，那就没有技巧了。

以上题为例：

由于 $k = 1 = \lambda _1 \ne \lambda _2$ ，得到 $y_0 = x(ax + b)e^{x} = (ax^2 + bx)e^{x}$ 这个特解

代入公式： $2a + (2-3)(2ax+b) = (2x-1)\Rightarrow -2ax + 2a-b = (2x-1)$

解得： $a = -1, b = -1$ （是不是快很多）

三、解的性质

（1）线性组成： $y_1$ 和 $y_2$ 是 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的解，则 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 也是它的解。

证：把 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 代入 $y'' + p(x)y' + q(x)$ 得：

$C_1 y''_1 + C_2 y''_2 + p(x)(C_1 y'_1 + C_2 y'_2 ) + q(x)(C_1 y_1 + C_2 y_2 )$

$\Rightarrow C_1 (y''_1 + p(x)y'_1 + q(x)y_1) + C_2 (y''_2 + p(x)y'_2 + q(x)y_2)$

$∵y_1, y_2$ 是 $y'' + p(x)y' + q(x) = 0$ 的解

$∴y''_1 + p(x)y'_1 + q(x)y_1 = y''_2 + p(x)y'_2 + q(x)y_2 = 0$

则 $C_1 (y''_1 + p(x)y'_1 + q(x)y_1) + C_2 (y''_2 + p(x)y'_2 + q(x)y_2) = 0$

Q.E.D.嘻嘻

同理其实我们可以推出，在 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 的情况。

$∵y_1, y_2$ 是 $y'' + p(x)y' + q(x) = f(x)$ 的解

$∴y''_1 + p(x)y'_1 + q(x)y_1 = y''_2 + p(x)y'_2 + q(x)y_2 = f(x)$

则 $C_1 (y''_1 + p(x)y'_1 + q(x)y_1) + C_2 (y''_2 + p(x)y'_2 + q(x)y_2) = (C_1 + C_2)f(x)$

当 $C_1 + C_2 =1$ 时， $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 是 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 的解

当 $C_1 + C_2 =0$ 时， $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 是 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的解、

否则， $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 是 $y'' + p(x)y' + q(x)y = (C_1 + C_2)f(x)$ 的解

（2）线性无关： $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 是 $y'' + p(x)y' + q(x) = 0$ 的解，充要条件是 $y_1$ 和 $y_2$ 是线性无关的。

（所谓线性无关，就是指 $y_1$ 和 $y_2$ 谁都不能表示谁，即 $Cy_1 \ne y_2$ （C为任意常数））

证：

充分性：因为 $y_1$ 和 $y_2$ 线性无关的，根据基本概念中关于通解的定义，不难看出 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 是 $y'' + p(x)y' + q(x) = 0$ 的解

必要性（反证法）：设 $y_1$ 和 $y_2$ 线性相关，则

$Cy_1 = y_2\Rightarrow C_1 y_1 = C_2 y_2\Rightarrow y = C_1 y_1 + C_2 y_2 = C_1 y_1$

这与基本概念中“某D.E.通解的项和该D.E.的阶相同”矛盾，则 $y_1$ 和 $y_2$ 线性无关。

Q.E.D.O(∩_∩)O哈哈~

（3）叠加原理：如果 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) = f_1(x) + f_2(x)$

$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x)$ 的解为 $y_1$

$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_2(x)$ 的解为 $y_2$

则 $y_1+2 y_1$ 便是 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 的通解

证：把 $y_1+y_1$ 代入 $y'' + p(x)y' + q(x)y$ ，得出

$(y''_1+ y''_1) + p(x)(y'_1+ y'_1) + q(x)(y_1+ y_1)$

$\Rightarrow y''_1+ p(x)y'_1 + q(x)y_1 + y''_2+ p(x)y'_2 + q(x)y_2$

$∵y''_1+ p(x)y'_1 + q(x)y_1 = f_1(x), y''_2+ p(x)y'_2 + q(x)y_2 = f_2(x)$

$∴ y''_1+ p(x)y'_1 + q(x)y_1 + y''_2+ p(x)y'_2 + q(x)y_2 = f_1(x) + f_2(x) = f(x)$

本文转载自（回忆大学所学）常微分方程